1、是射影定理吧？直角三角形射影定理 　　直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。

2、每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。

3、　　公式 如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：　　（1）（AD）^2=BD·DC，　?。?）（AB）^2=BD·BC ，　?。?）（AC）^2=CD·BC 。

(資料圖)

4、　　證明：在 △BAD與△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。

5、其余類似可證。

6、直角三角形射影定理 　　直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。

7、每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。

8、　　公式 如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：　?。?）（AD）^2=BD·DC，　?。?）（AB）^2=BD·BC ，　?。?）（AC）^2=CD·BC 。

9、　　證明：在 △BAD與△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。

10、其余類似可證。

11、　任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：　　設(shè)⊿ABC的三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是A、B、C，則有　　a＝b·cosC＋c·cosB，　　b＝c·cosA＋a·cosC，　　c＝a·cosB＋b·cosA。

12、　　注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”為例，b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

13、　　證明1：設(shè)點(diǎn)A在直線BC上的射影為點(diǎn)D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可證其余。

14、　　 　　證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA　　=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA. 同理可證其余。

15、 下面是意義及例題　射影定理是平面幾何中一個(gè)很重要的性質(zhì)定理，盡管義務(wù)教材中沒(méi)有列入，但在幾何證明及計(jì)算中應(yīng)用很廣泛，若能很好地掌握并靈活地運(yùn)用它，?？扇〉绞掳牍Ρ兜男Ч?。

16、一般地，若將定理中的直角三角形條件非直角化，亦可得到類似的結(jié)論（這里暫且稱之為射影定理的推廣）------，而此結(jié)論又可作為證明其它命題的預(yù)備定理及聯(lián)想思路，熟練地掌握并巧妙地運(yùn)用，定會(huì)在幾何證明及計(jì)算“山窮水盡疑無(wú)路”時(shí)，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

17、下面結(jié)合例子從它的變式推廣上談?wù)勂鋺?yīng)用。

18、一、射影定理　　射影定理　直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。

19、 如圖（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ為高，則有ＣD２＝ＢＤ?AD、ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。

20、（證明略）二、變式推廣　?。保嬗谩　∪鐖D（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ為高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ為直角三角形。

21、　　　　（證明略）　?。玻话慊?，若△ＡＢＣ不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)Ｄ滿足一定條件時(shí)，類似地仍有部分結(jié)論成立。

22、（后文簡(jiǎn)稱：射影定理變式（2））　　　如圖（２）：△ＡＢＣ中，D為ＡＢ上一點(diǎn)，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ為ＡＢ上一點(diǎn)，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

23、　　　　　　　（證明略）三、應(yīng)用例１　如圖（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于點(diǎn)Ｈ，求證：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ２ 分析：　易證∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，聯(lián)想到射影定理變式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有結(jié)論成立。

24、（證明略）　　例２　如圖（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ為弧ＡＣ中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分為４和１２兩部分，求ＤＣ。

25、　　分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，滿足射影定理變式（2）的條件，故有ＣＤ２＝ＤＥ?ＤＢ，易求得ＤＣ＝８（圖沒(méi)找到，好在這圖簡(jiǎn)單，自己想象一下吧）　　(解略) 例3　已知：如圖（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分線交ＡＢ于點(diǎn)Ｅ，交ＡＤ于點(diǎn)Ｈ，交ＡＣ于點(diǎn)Ｇ，交ＢＣ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Ｆ，　　　　求證：ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。

26、　　　　證明：連ＡＦ，　∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，　　　　　　　∴ＦＡ＝ＦＤ，　∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，　　　　　　∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，　　　　　　∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，　　　　　　∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，　　　　　　∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，　　　　　　∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ ＝ ，∴ＡＦ２＝ＣＦ?ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。

27、例4　　如圖（6），已知⊙Ｏ中，ＡＢ 為直徑，△ＡＢＣ內(nèi)接于圓，AE =AC ,連BE 交圓于點(diǎn)F ，求證：∠ACF ＝∠AED 。

28、分析：由條件易知，△ＡＢＣ為直角三角形，ＣＤ為高，由射影定理有AC 2=ＡＤ?ＡＢ，又AE=AC ，故有AE 2=ＡＤ?ＡＢ，滿足射影定理變式（2）條件，易得結(jié)論成立。

29、例5　已知：如圖（7），直線y= x+3交x軸于點(diǎn)Ａ，交y軸于點(diǎn)Ｂ，以點(diǎn)Ｍ（４，０）為圓心，ＭＢ為半徑作⊙Ｍ交ＡＢ的延長(zhǎng)線于Ｄ，與y軸交于另一點(diǎn)Ｃ　　?。ǎ。┣簏c(diǎn)Ｄ的坐標(biāo)。

30、　　　（２）連ＡＣ、ＭＤ、ＣＤ，ＣＤ交x軸于Ｅ，求證：△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ。

31、　　　（３）若Ｐ為?。拢蒙先我稽c(diǎn)時(shí)（圖8），ＰＥ的延長(zhǎng)線交Ｍ于Q,點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)Ｐ在?。拢茫ú缓它c(diǎn)Ｂ、Ｃ）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，ＡＰ?ＡＱ的值地否改變？試證明你的結(jié)論。

32、略解：（１）作ＤＮ⊥x軸于Ｎ，運(yùn)用割線定理及相似三角形的性質(zhì)，可得Ｄ的坐標(biāo)為（ ， ）。

33、　?。?）法1：由△ＣOE∽△DNE，通過(guò)計(jì)算有EM＝EC，　　　　　　　　　?。罞＝DE，又∠ＡＥＣ＝∠ＤＥＭ，　　　　　　　　　　∴△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ。

34、　　　　　　　　　　　　法2：連BM，∵∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ，　　　　　　　　　　∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＋∠ＢＤＣ，　　　　　∴∠ＡＣＥ＝∠ＢＤＣ＋２∠ＢＣＤ，　　　　　　　　　　∵∠ＢＤＣ＝∠ＢＭＥ，　∠ＤＭＢ＝２∠ＢＣＤ，　∴∠ＡＣＥ＝∠ＤＭＥ，　又∠ＡＥＣ＝∠ＤＥＭ，ＤＭ＝ＡＣ＝５∴△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ　?。ǎ常粒?ＡＱ的值為定值。

35、連MP,∵△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ，∴∠ＣＡＥ＝∠ＭＤＥ，∴△ＡＭＤ∽△ＤＭＥ，∴ＤＭ２＝ＭＥ?ＭＡ，　∵ＭＰ＝ＭＤ，∴ＭＰ２＝ＭＥ?ＭＡ，　∴△ＭＰＥ∽△ＭＡＰ，∴∠ＭＰＥ＝∠ＥＡＰ，　∵ＭＱ＝ＤＭ，　∴ＭＱ２＝ＭＥ?ＭＡ，　∴△ＭＥＱ∽△ＭＱＡ，∴∠ＭＥＱ＝∠ＭＱＡ，　∠ＭＱＥ＝∠ＱＡＭ，∵∠ＭＰＥ＝∠ＭＱＥ，∠ＭＥＱ＝∠ＰＥＡ，∴∠ＥＡＰ＝∠ＱＡＭ，　∠ＰＥＡ＝∠ＭＱＡ，∴△ＡＰＥ∽△ＡＭＱ　，∴ ＝ ，∴ＡＰ?ＡＱ＝ＡＥ?ＡＭ＝ＡＭ２－ＥＭ?ＡＭ＝ＡＭ２－ＤＭ2＝８２－５２＝３９。

36、　　　點(diǎn)評(píng)：本例（３）中圍繞ＰＭ２＝ＭＱ２＝ＤＭ２＝ＭＥ?ＭＡ，反復(fù)運(yùn)用變式推廣２，正面用過(guò)來(lái)，反面用回去，其運(yùn)用之妙，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的變化之美。

37、例6　已知：如圖（9），直線y=2x+2交x、y軸于Ａ、Ｃ兩點(diǎn)，過(guò)Ａ、Ｃ兩點(diǎn)作⊙Ｍ，交軸于另一點(diǎn)Ｂ，交軸于另一點(diǎn)Ｄ，且圓心Ｍ在軸上（１） 求點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)。

38、（２） 以Ａ為圓心，ＡＣ為半徑作⊙Ａ（如圖10），點(diǎn)Ｐ為⊙Ａ的優(yōu)?。茫纳先我稽c(diǎn)，連ＰＯ并延長(zhǎng)交Ａ于Ｑ點(diǎn)，求證：∠ＯＢＰ＝∠ＯＢＱ。

39、（３） 當(dāng)點(diǎn)Ｐ在⊙Ａ的優(yōu)?。茫模ú缓它c(diǎn)Ｃ、Ｄ）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，ＢＰ?ＢＱ的值是否發(fā)生改變？試證明你的結(jié)論。

40、略解：（１）易求得點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為（2/3 ，０）。

41、（解略。

42、）　　　 （２）連ＡＱ、ＡＰ、ＡＣ、ＢＣ，∵∠ＡＣＯ＝∠ＡＢＣ，　∴ＡＣ２＝ＡＯ?ＡＢ，∵ＡＱ＝ＡＣ，　　　∴ＡＱ２＝ＡＯ?ＡＢ，　∴△ＡＯＱ∽△ＡＱＢ，　∴∠ＡＱＯ＝∠ＯＢＱ，∵ＡＰ＝ＡＣ，　　∴ＡＰ２＝ＡＯ?ＡＢ，∴△ＡＯＰ∽△ＡＰＢ，∴∠ＡＰＯ＝∠ＯＢＰ，∵∠ＡＰＯ＝∠ＡＱＯ，　∴∠ＯＢＰ＝∠ＯＢＱ。

43、（３）∵△ＡＯＰ∽△ＡＰＢ，∴∠ＡＯＰ＝∠ＡＰＢ，　　 　∵∠ＡＯＰ＝∠ＱＯＢ，∴∠ＡＰＢ＝∠ＱＯＢ，又∠ＯＢＰ＝∠ＯＢＱ，　　　　　　　∴△ＡＰＢ∽△ＱＯＢ，∴ ＝ ，∴ＢＰ?ＢＱ＝ＡＢ?????ＢＯ＝５ⅹ４＝２０。

44、 多謝采納。

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