攝影定理有逆定理嗎(攝影定理是什么) 焦點(diǎn)速遞
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- 2023-02-13 09:00:32
1、是射影定理吧?直角三角形射影定理 直角三角形射影定理(又叫歐幾里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。
2、每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。
3、 公式 如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下: (1)(AD)^2=BD·DC, ?。?)(AB)^2=BD·BC , ?。?)(AC)^2=CD·BC 。
(資料圖)
4、 證明:在 △BAD與△ACD中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,又∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴ AD/BD=CD/AD,即(AD)^2=BD·DC。
5、其余類似可證。
6、直角三角形射影定理 直角三角形射影定理(又叫歐幾里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。
7、每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。
8、 公式 如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下: ?。?)(AD)^2=BD·DC, ?。?)(AB)^2=BD·BC , ?。?)(AC)^2=CD·BC 。
9、 證明:在 △BAD與△ACD中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,又∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴ AD/BD=CD/AD,即(AD)^2=BD·DC。
10、其余類似可證。
11、 任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”: 設(shè)⊿ABC的三邊是a、b、c,它們所對(duì)的角分別是A、B、C,則有 a=b·cosC+c·cosB, b=c·cosA+a·cosC, c=a·cosB+b·cosA。
12、 注:以“a=b·cosC+c·cosB”為例,b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB,故名射影定理。
13、 證明1:設(shè)點(diǎn)A在直線BC上的射影為點(diǎn)D,則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD,且 BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可證其余。
14、 證明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可證其余。
15、 下面是意義及例題 射影定理是平面幾何中一個(gè)很重要的性質(zhì)定理,盡管義務(wù)教材中沒(méi)有列入,但在幾何證明及計(jì)算中應(yīng)用很廣泛,若能很好地掌握并靈活地運(yùn)用它,??扇〉绞掳牍Ρ兜男Ч?。
16、一般地,若將定理中的直角三角形條件非直角化,亦可得到類似的結(jié)論(這里暫且稱之為射影定理的推廣)------,而此結(jié)論又可作為證明其它命題的預(yù)備定理及聯(lián)想思路,熟練地掌握并巧妙地運(yùn)用,定會(huì)在幾何證明及計(jì)算“山窮水盡疑無(wú)路”時(shí),“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
17、下面結(jié)合例子從它的變式推廣上談?wù)勂鋺?yīng)用。
18、一、射影定理 射影定理 直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng);且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。
19、 如圖(1):Rt△ABC中,若CD為高,則有CD2=BD?AD、BC2=BD?AB或AC2=AD?AB。
20、(證明略)二、變式推廣 ?。保嬗谩 ∪鐖D(1):若△ABC中,CD為高,且有DC2=BD?AD或AC2=AD?AB或BC2=BD?AB,則有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B,均可等到△ABC為直角三角形。
21、 (證明略) ?。玻话慊?,若△ABC不為直角三角形,當(dāng)點(diǎn)D滿足一定條件時(shí),類似地仍有部分結(jié)論成立。
22、(后文簡(jiǎn)稱:射影定理變式(2)) 如圖(2):△ABC中,D為AB上一點(diǎn),若∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A,則有△CDB∽△ACB,可得BC2=BD?AB;反之,若△ABC中,D為AB上一點(diǎn),且有BC2=BD?AB,則有△CDB∽△ACB,可得到∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A。
23、 (證明略)三、應(yīng)用例1 如圖(3),已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,高AD、BE交于點(diǎn)H,求證:4DH?DA=BC2 分析: 易證∠BAD=∠CAD=900-∠C=∠HBD,聯(lián)想到射影定理變式(2),可得BD2=DH?DA,又BC=2BD,故有結(jié)論成立。
24、(證明略) 例2 如圖(4):已知⊙O中,D為弧AC中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D的弦BD被弦AC分為4和12兩部分,求DC。
25、 分析:易得到∠DBC=∠ABD=∠DCE,滿足射影定理變式(2)的條件,故有CD2=DE?DB,易求得DC=8(圖沒(méi)找到,好在這圖簡(jiǎn)單,自己想象一下吧) (解略) 例3 已知:如圖(5),△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)G,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F, 求證:DF2=CF?BF。
26、 證明:連AF, ∵FH垂直平分AD, ∴FA=FD, ∠FAD=∠FDA, ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD, ∴∠FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD, ∵∠B=∠FDA-∠BAD, ∴∠FAC=∠B,又∠AFC公共, ∴△AFC∽△BFA,∴ = ,∴AF2=CF?BF,∴DF2=CF?BF。
27、例4 如圖(6),已知⊙O中,AB 為直徑,△ABC內(nèi)接于圓,AE =AC ,連BE 交圓于點(diǎn)F ,求證:∠ACF =∠AED 。
28、分析:由條件易知,△ABC為直角三角形,CD為高,由射影定理有AC 2=AD?AB,又AE=AC ,故有AE 2=AD?AB,滿足射影定理變式(2)條件,易得結(jié)論成立。
29、例5 已知:如圖(7),直線y= x+3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,以點(diǎn)M(4,0)為圓心,MB為半徑作⊙M交AB的延長(zhǎng)線于D,與y軸交于另一點(diǎn)C ?。ǎ。┣簏c(diǎn)D的坐標(biāo)。
30、 (2)連AC、MD、CD,CD交x軸于E,求證:△ACE≌△DME。
31、 (3)若P為?。拢蒙先我稽c(diǎn)時(shí)(圖8),PE的延長(zhǎng)線交M于Q,點(diǎn),問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在?。拢茫ú缓它c(diǎn)B、C)上運(yùn)動(dòng)時(shí),AP?AQ的值地否改變?試證明你的結(jié)論。
32、略解:(1)作DN⊥x軸于N,運(yùn)用割線定理及相似三角形的性質(zhì),可得D的坐標(biāo)為( , )。
33、 ?。?)法1:由△COE∽△DNE,通過(guò)計(jì)算有EM=EC, ?。罞=DE,又∠AEC=∠DEM, ∴△ACE≌△DME。
34、 法2:連BM,∵∠ACE=∠ACB+∠BCD, ∠ACB=∠ABC=∠BCD+∠BDC, ∴∠ACE=∠BDC+2∠BCD, ∵∠BDC=∠BME, ∠DMB=2∠BCD, ∴∠ACE=∠DME, 又∠AEC=∠DEM,DM=AC=5∴△ACE≌△DME ?。ǎ常粒?AQ的值為定值。
35、連MP,∵△ACE≌△DME,∴∠CAE=∠MDE,∴△AMD∽△DME,∴DM2=ME?MA, ∵MP=MD,∴MP2=ME?MA, ∴△MPE∽△MAP,∴∠MPE=∠EAP, ∵MQ=DM, ∴MQ2=ME?MA, ∴△MEQ∽△MQA,∴∠MEQ=∠MQA, ∠MQE=∠QAM,∵∠MPE=∠MQE,∠MEQ=∠PEA,∴∠EAP=∠QAM, ∠PEA=∠MQA,∴△APE∽△AMQ ,∴ = ,∴AP?AQ=AE?AM=AM2-EM?AM=AM2-DM2=82-52=39。
36、 點(diǎn)評(píng):本例(3)中圍繞PM2=MQ2=DM2=ME?MA,反復(fù)運(yùn)用變式推廣2,正面用過(guò)來(lái),反面用回去,其運(yùn)用之妙,體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的變化之美。
37、例6 已知:如圖(9),直線y=2x+2交x、y軸于A、C兩點(diǎn),過(guò)A、C兩點(diǎn)作⊙M,交軸于另一點(diǎn)B,交軸于另一點(diǎn)D,且圓心M在軸上(1) 求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
38、(2) 以A為圓心,AC為半徑作⊙A(如圖10),點(diǎn)P為⊙A的優(yōu)?。茫纳先我稽c(diǎn),連PO并延長(zhǎng)交A于Q點(diǎn),求證:∠OBP=∠OBQ。
39、(3) 當(dāng)點(diǎn)P在⊙A的優(yōu)?。茫模ú缓它c(diǎn)C、D)上運(yùn)動(dòng)時(shí),BP?BQ的值是否發(fā)生改變?試證明你的結(jié)論。
40、略解:(1)易求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2/3 ,0)。
41、(解略。
42、) (2)連AQ、AP、AC、BC,∵∠ACO=∠ABC, ∴AC2=AO?AB,∵AQ=AC, ∴AQ2=AO?AB, ∴△AOQ∽△AQB, ∴∠AQO=∠OBQ,∵AP=AC, ∴AP2=AO?AB,∴△AOP∽△APB,∴∠APO=∠OBP,∵∠APO=∠AQO, ∴∠OBP=∠OBQ。
43、(3)∵△AOP∽△APB,∴∠AOP=∠APB, ∵∠AOP=∠QOB,∴∠APB=∠QOB,又∠OBP=∠OBQ, ∴△APB∽△QOB,∴ = ,∴BP?BQ=AB?????BO=5ⅹ4=20。
44、 多謝采納。
本文到此分享完畢,希望對(duì)大家有所幫助。
標(biāo)簽: 射影定理 直角三角形 比例中項(xiàng)
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